[拼音]:xianxing bianhuan [外文]:linear transformation 同一域上两个向量空间之间的映射,是线性代数的一个主要研究对象。 设V和V┡是域 K上的向量空间,L是从V到V┡的映射,如果对于V中任意向量 u、v以及K中任意元素α、b,有L(αu+bv)=αL(u)+b)L(v),那么L 称为V到V┡的线性变换。例如,解析几何里的三维空间中任一向量(尣,y,z)在xy平面上的投影:L((尣,y,z))=(尣,y),就是实数域R上三维向量空间R3到二维向量空间R2的一个线性变换。设尣是n维向量,M是m×n实矩阵,令L(尣)=M·尣,则L就是Rn到Rm的一个线性变换。 设L 是V 到V┡的一个线性变换, B ={b)j|j=1,2,…,n}和 C ={сj|i=1,2,…,m}分别是 V 和V┡的基,于是,V 中任一元素尣可表为 从线性变换和矩阵的对应关系可知这两者是同一的,但是线性变换的矩阵与基有关,而线性变换却不受基的限制,所以线性变换使用起来要方便一些。例如,解齐次线性方程组: ![]() 就可看作求KerL的问题,这里L是矩阵(αij)所代表的线性变换。因此,当L的亏为0时方程组只有零解。在m<n时,由亏和秩的关系可知dimL(V) 在V=V┡时,若V 到V┡的线性变换L是一个双射,则L 称为可逆变换或非奇异变换。从亏和秩的关系可知以下条件是等价的: (1)L是正则的; (2)M(L)是非奇异的; (3)L(V)=V; (4)KerV ={o}。V 的正则变换以映射的合成为运算构成一个群,称为V上的一般线性群,记作GL(V)。 在V和V┡都是赋范线性空间时,V到V┡的线性变换就称为线性算子。如果V┡是一维实空间,那么就把线性算子称为线性泛函。对于线性算子L若存在常数M,使得‖L(尣)‖≤M·‖尣‖,对于V的一切x都成立,那么L称为有界的。对于线性算子来说,有界和一致连续是等价的。 |